Positive Periodic Solutions of Delay Differential Equations

Abstract

Delay differential equations play an important role in the mathematical modeling of many real-world phenomena where the present state depends not only on the current situation but also on past states. Such equations arise naturally in several fields including biology, physics, engineering, and population dynamics. The main objective of this memoir is to study the existence and exponential stability of positive periodic solutions for two classes of delay differential equations: a linear first-order delay differential equation and its nonlinear generalization. By constructing suitable operators on appropriate Banach spaces and applying Schauder's fixed point theorem, we establish sufficient conditions ensuring the existence of positive periodic solutions. The exponential stability of the obtained solutions is then investigated using Lyapunov functionals combined with the Halanay inequality. Finally, an application to a biological model describing the dynamics of red blood cells is presented, supported by numerical simulations confirming the theoretical results. ------------------------------------------------------------------------- تلعب المعادلات التفاضلية التأخيرية دورًا هامًا في النمذجة الرياضية للعديد من الظواهر الواقعية، حيث لا تعتمد الحالة الحالية على الوضع الراهن فحسب، بل تعتمد أيضًا على الحالات السابقة. وتنشأ هذه المعادلات بشكل طبيعي في العديد من المجالات، بما في ذلك علم الأحياء والفيزياء والهندسة وديناميكيات السكان، تهدف هذه المذكرة بشكل أساسي إلى دراسة وجود الحلول الدورية الموجبة واستقرارها الأسي لنوعين من المعادلات التفاضلية التأخيرية: معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى، وتعميمها غير الخطي، حيث نقوم ببناء مؤثرات مناسبة على فضاءات باناخ الملائمة وتطبيق نظرية النقطة الثابتة لشودار، نضع شروطًا كافية لضمان وجود حلول دورية موجبة. ثم يتم التحقق من الاستقرار الأسي للحلول المُستنتجة باستخدام دوال ليابونوف المقترنة بمتباينة هالاناي. أخيرًا، يتم تقديم تطبيق على نموذج بيولوجي يصف ديناميكيات خلايا الدم الحمراء، مدعومًا بمحاكاة عددية تؤكد النتائج النظرية. ------------------------------------------------------------------------ Les équations différentielles à retard jouent un rôle important dans la modélisation mathématique de nombreux phénomènes réels où l'état présent dépend non seulement de la situation actuelle mais également des états passés. De telles équations apparaissent naturellement dans plusieurs domaines tels que la biologie, la physique, l'ingénierie et la dynamique des populations. L’objectif principal de ce mémoire est d'étudier l'existence et la stabilité exponentielle des solutions périodiques positives pour deux classes d'équations différentielles à retard : une équation linéaire du premier ordre et sa généralisation non linéaire. En construisant des opérateurs appropriés sur des espaces de Banach adéquats et en appliquant le théorème du point fixe de Schauder, nous établissons des conditions suffisantes garantissant l'existence de solutions périodiques positives. La stabilité exponentielle des solutions obtenues est ensuite étudiée à l'aide de fonctionnelles de Lyapunov combinées à l'inégalité de Halanay. Enfin, une application à un modèle biologique décrivanla dynamique des globules rouges est présentée, appuyée par des simulations numériques confirmant les résultats théoriques.