La fonction de Green en physique mathématique et applications

Abstract

In this work we will study a fairly general method based on Green s function and its applica- tion for ordinary di¤erential equations (EDO) and partial di¤erential equations (PDE), hence its main interest is the integral representation of the solution of these equations, because the Green function plays a fundamental role in the transition from a di¤erential equation to an integral equation. - In our work, we presented a precise treatment and several results relating to the calculation of the Green function for certain ODEs of order two and three and certain PDEs, with boundary conditions, which have precise interpretations in mathematical physics. - We determined the Green functions of simple problems like the Laplace and Poisson equation and for an axi-symmetric potential problem. The approach will allow us to highlight an interesting formulation of these problems. -------------------------------------------------------------------------------- سوف ندرس ف هذه المذكرة طر قٌة عامة تعتمد على دالة جر نٌ وتطب قٌها على المعادلات التفاضل ةٌ العاد ةٌ والمعادلات التفاضل ةٌ الجزئ ةٌ، ومن هنا فإن هدفها الأساس هو التمث لٌ التكامل لحل هذه المعادلات، لأن دالة قر نٌ تلعب دورًا أساس اًٌ ف الانتقال من المعادلة التفاضل ةٌ إلى المعادلة التكامل ةٌ. ف عملنا، قدمنا معالجة دق قٌة والعد دٌ من النتائج المتعلقة بحساب دالة قر نٌ لبعض المعادلات التفاضل ةٌ من الرتبة الثان ةٌ والثالثة وبعض المعادلات التفاضل ةٌ الجزئ ةٌ، مع شروط حد ةٌ، والت لها تفس رٌات دق قٌة ف الف زٌ اٌء الر اٌض ةٌ. لقد حددنا دوال قر نٌ لمسائل بس طٌة مثل معادلة لابلاس وبواسون ومسألة التماثل المحوري، وستسمح لنا هذه الطر قٌة بتسل طٌ الضوء على ص اٌغة مث رٌة للاهتمام لهذه المسائل. -------------------------------------------------------------------------------- On va étudier dans ce mémoire une méthode assez général basée sur la fonction de Green et son application pour les équations di¤érentielles ordinaires (EDO) et les équations di¤éren- tielles aux dérivées partielles (EDP), d où son intérêt principal est la représentation intégrale de la solution de ces équations, car la fonction de Green joue un rôle fondamental pour le passage d une équation di¤érentielle à une équation intégrale. - Dans notre travail, nous avons présenté un traitement précis et plusieurs résultats relatifs au calcul de la fonction de Green pour certaines EDO d ordre deux et trois et certaines EDP, avec des conditions aux limites, qui ont des interprétations précises en physique mathématique. - On a déterminé les fonctions de Green de problèmes simples comme l équation de Laplace et de Poisson et pour un problème de potentiel axi-symétrique. La démarche nous permettra de mettre en évidence une formulation intéressante de ces problèmes.