Quelque résultats sur un système hamiltonien d’ordre deux.

Abstract

Critical point theory is regarded as an indispensable tool for proving the existence of solutions in nonlinear dynamical systems. In this work, we will present some results of [7] related to the existence of homoclinic solutions for the second-order Hamiltonian system :

.. q — Vq(t, q) = ƒ (t), Where t ∈ R, q ∈ Rn, V : R × Rn → R represents a coercive potential in q, which is T - periodic in t, and the integral of V (•, 0) on [0, T ] is zero. ƒ : R → R is a continuous, bounded, square-integrable, and non-zero function. The authors have demonstrated the existence of a homoclinic solution as a limit of a sequence of 2hT -periodic solutions in a Sobolev space using variational methods, including the Minimization Theorem and the Palais–Smale condition to establish the results. -------------------------------------------------------------------------------- تُعتَبَر نظرية النقاط الحرجة أداة لا غنى عنها لإثبات وجود حلول في الأنظمة الديناميكية غير الخطية. في هذا البحث، سنعرض بعض النتائج الواردة في [7] والمتعلقة بوجود حلول هوموكلينية للنظام الهاملتوني من الرتبة الثانية: q ̈-V_q (t,q)=f(t), حيث V:R×Rⁿ→R,q∈Rⁿ,t∈R يمثّل جهداً (تابع طاقة) ذا خاصية الإجبارية في المتغيرq وهو دوريّ بدورة T في المتغير t، كما أن تكامل V(⋅,0) على الفترة [0,T] يساوي الصفر. أما f:R→Rⁿ فهي دالة مستمرة، ومحدودة، ومربّعة التكامل، وغير منعدمة. لقد أثبت المؤلفون وجود حل هوموكليني باعتباره نهاية لمتتالية من الحلول 2kT-دورية في فضاء سوبوليف، وذلك باستخدام طرق تباينية (تغيّريّة)، بما في ذلك مبرهنة القيمة الصغرى وشرط باليه–سْمَال لإثبات النتائج. -------------------------------------------------------------------------------- La théorie des points critiques est considérée comme un outil indispensable pour prouver l'exis- tence de solutions dans les systèmes dynamiques non linéaires. Dans ce mémoire, nous présenterons certains résultats de [7] concernant l'existence de solutions homoclines pour le système hamiltonien du second ordre :

.. q — Vq(t, q) = ƒ (t), Où t ∈ R, q ∈ Rn, V : R × Rn → R représente un potentiel coercive en q, qui est T -périodique en t, et l'integral de V (•, 0) sur [0, T ] est nulle. ƒ : R → R est une fonction continue, bornée, de carré intégrable, et non nulle. Les auteurs ont démontré l'existence d'une solution homocline en tant que limite d'une suite de solutions 2hT -périodiques dans un espace de Sobolev est démontrée en utilisant des méthodes variationnelles, y compris le Théorème de minimisation et la condition de Palais–Smale pour établir les résultats.