Dissipation et Comportement Asymptotique Des Solutions Fractionnaires

Abstract

This memory is devoted to the qualitative study of the asymptotic behavior of solutions to nonlinear reaction-diffusion equations. We first consider a diffusion-absorption equation with a pure fractional Laplacian. Then, we extend our analysis to an equation with a mixed operator combining local and non-local diffusion. The central objective is to analyze the time evolution of the total mass and to determine whether it decays completely or stabilizes at a positive value as time becomes large. We show the existence of a critical threshold: above this threshold, diffusion dominates and the mass survives; below it, the nonlinear absorption prevails, and the mass vanishes. The proofs rely primarily on integrability estimates and the comparison principle, as well as on the rescaled test function method in the weak formulation of the problem. --------------------------------------------------------------------- تكرس هذه المذكرة للدراسة النوعية للسلوك التقاربي لحلول معادلات التفاعل والانتشار غير الخطية. نبدأ بدراسة معادلة الانتشار والامتصاص باستخدام لابلاس كسري بحت. ثم نوسع نطاق تحليلنا ليشمل معادلة ذات مؤثر مختلط يجمع بين الانتشار الموضعي والانتشار غير الموضعي. يتمثل الهدف الرئيسي في تحليل التطور الزمني للكتلة الكلية وتحديد ما إذا كانت تتلاشى تماما ام تستقر عند قيمة موجبة مع مرور الوقت. ونبرهن في هذا الصدد وجود عتبة حرجة: فوق هذه العتبة، يهيمن الانتشار وتبقى الكتلة، بينما تحت هذه العتبة، تطغى الية الامتصاص غير الخطية مما يؤدي الى اضمحلال الكتلة واختفائها. تعتمد البراهين بشكل أساسي على تقديرات التكامل ومبدأ المقارنة، بالإضافة الى طريقة دوال الاختبار المعاد تطبيعها في الصيغة الضعيفة للمسالة -------------------------------------------------------------------- Ce mémoire est consacré à l’étude qualitative du comportement asymptotique des solutions d’équations de réaction-diffusion non linéaires. On considère d’abord une équation de diffusion-absorption avec un Laplacien fractionnaire pur. Ensuite, nous avons étendu notre analyse à une équation avec un opérateur mixte combinant diffusion locale et diffusion non locale. L'objectif central est d'analyser l'évolution temporelle de la masse totale et de déterminer si celle-ci s'éteint complètement ou se stabilise à une valeur positive lorsque le temps devient grand. On montre l’existence d’un seuil critique : au‑dessus de ce seuil, la diffusion domine et la masse survit ; en‑dessous, l’absorption non linéaire l’emporte et la masse s’éteint. Les démonstrations reposent essentiellement sur les estimations d’intégrabilité et le principe de comparaison, ainsi que sur la méthode des fonctions tests renormalisées dans la formulation faible du problème.