Etude qualitetive sur quelques systemes hyperboliques avec dissipation

Abstract

In this memory, we discuss an analytical mathematical study of the Timoshenko linear system, characterized by strong damping and a significant delay in its first equation. The results of this study reveal some findings regarding the existence, uniqueness, and stability nature of the solution. Firstly, the system is well-posed, indicating that it has a unique solution that is guaranteed by employing the semigroup approach. Furthermore, it is observed that despite the lack of exponential stability, the system exhibits good decay properties regardless of whether the ratio of the wave velocity amplitudes ((ρ₁)/κ)=((ρ₂)/b) or not. Moreover, by relying on the system's second-order energy, it is possible to establish stability using a polynomial estimate and an optimal rate . -------------------------------------------------------------------------------- نتناول في هذه المذكرة دراسة رياضية تحليلية لنظام تيموشينكو الخطي الذي يتميز بتخميد قوي ومدة تأخير كبيرة في معادلته الأولى. كشفت نتائج هذه الدراسة عن بعض النتائج حول وجود ووحدانية الحل وطبيعة استقراره. أولاً ، النظام في وضع جيد، مما يعني أن لديه حلًا فريدًا ووجوده مضمون وذلك باستعمال طريقة نصف الزمرة. علاوة على ذلك ، لوحظ أنه على الرغم من عدم وجود الاستقرار الأسي ، فإن النظام يحتفظ بإمكانية جيدة ، بغض النظر عما إذا كانت حالة السرعات الاهتزازات الموجية ((ρ₁)/κ)=((ρ₂)/b) متساوية أم لا. علاوة على ذلك ، فإنه بالاعتماد على طاقة النظام من الدرجة الثانية من الممكن إثبات استقرار للنظام بتقدير متعدد الحدود و بمعدل مثالي . -------------------------------------------------------------------------------- Dans ce mémoire, nous abordons une étude mathématique analytique du système linéaire de Timoshenko, caractérisé par un fort amortissement et un retard significatif dans sa première équation. Les résultats de cette étude révèlent quelques résultats concernant l'existence, l'unicité et la nature de la stabilité de la solution. Tout d'abord, le système est bien posé, ce qui signifie qu'il possède une solution unique dont l'existence est garantie en utilisant l'approche des semi-groupes. De plus, il a été observé que malgré l'absence de stabilité exponentielle, le système présente de bonnes propriétés de décroissance, indépendamment de la satisfaction ou non de la condition d'égalité des amplitudes de la vitesse d'onde ((ρ₁)/κ)=((ρ₂)/b). De plus, il est possible d'établir la stabilité du système en se basant sur l'énergie du second ordre, à travers une estimation polynomiale et un taux optim