Applications du théorème de Lumer Phillips aux problèmes hyperboliques

Abstract

Nowadays, hyperbolic systems arise in various fields such as mechanics, physics, and material engineering. In this work, we study two Timoshenko-type models related to thermoelastic phenomena: the first one describes a classical thermoelastic system, while the second is applied to double-walled carbon nanotubes. Our main goal is to investigate the existence and uniqueness of solutions for both cases using the Lumer-Phillips theorem, within the framework of the theory of contraction semigroups. By formulating both systems as abstract Cauchy problems, we show that the associated operators are dissipative and that the required conditions of the theorem are fulfilled. Then, we study the exponential stability of the systems. For the first model, the stability is proven by contradiction, while for the second, we use an energybased method. This study highlights the e¤ectiveness of functional analysis tools in the qualitative study of coupled hyperbolic equations. ---------------------------------------------------------------------------- في الوقت الحاضر، تظهر الأنظمة الزائدية(hyperbolique) في مجالات متعددة مثل الميكانيكا، والفيزياء، وهندسة المواد. في هذا العمل، ندرس نموذجين من نوع تيموشينكو مرتبطين بظواهر حرارية مرنة(thermoélastiques): يصف الأول نظام حراري مرن كلاسيكي، في حين يُطبق الثاني على أنابيب الكربون النانوية ذات الجدارين. يتمثل هدفنا الرئيسي في دراسة وجود ووحدانية الحلول في كلا الحالتين، وذلك باستخدام مبرهنة لوميير-فيليبس ضمن إطار نظرية أشباه الزمر المتقلصة. من خلال صياغة النظامين على شكل مسائل كوشي تجريدية، نُبيّن أن المؤثرات المرتبطة بهما تبددية(dissipqtives)، وأن شروط تطبيق المبرهنة مستوفاة. بعد ذلك، ندرس الاستقرار الأسي للنظامين. بالنسبة للنموذج الأول، يتم إثبات الاستقرار بطريقة البرهان بالخلف (العكس النقيض)، بينما نستخدم في الحالة الثانية طريقة تعتمد على الطاقة. تُبرز هذه الدراسة فعالية أدوات التحليل الدالي في الدراسة النوعية للمعادلات الزائدية الترابطة. ---------------------------------------------------------------------------- Aujourd’hui, les systèmes hyperboliques apparaissent dans de nombreux domaines tels que la mécanique, la physique et l’ingénierie des matériaux. Dans ce travail, nous étudions deux modèles de type Timoshenko associés à des phénomènes thermoélastiques : le premier concerne un système thermoélastique classique, tandis que le second est appliqué à des nanotubes de carbone à double paroi. Notre objectif principal est d’analyser l’existence et l’unicité des solutions pour chaque cas en utilisant le théorème de Lumer-Phillips dans le cadre de la théorie des semi-groupes de contraction. En formulant les deux systèmes comme des problèmes abstraits de Cauchy, nous montrons que les opérateurs associés sont dissipatifs et que les conditions du théorème sont satisfaites. Ensuite, nous abordons la question de la stabilité exponentielle. Pour le premier modèle, la démonstration est obtenue par une méthode par l’absurde, tandis que pour le second, nous utilisons une méthode basée sur l’énergie. Ce travail illustre la puissance des outils fonctionnels dans l’étude qualitative des équations hyperboliques couplées.