Existence, unicité et stabilité de la solution d'un problème d’évolution dissipatif

Abstract

This study investigates the long-term dynamics behaviour for a thermoelastic micro beam system featuring time delay and governed by the Coleman-Gurtin thermal law. The convolution kernel of this thermal law introduces very weak dissipation effects. Utilizing semigroup theory, we demonstrate the existence of global weak and strong solutions, along with their continuous dependency on initial conditions within appropriate function spaces. This analysis relies on specific assumptions regarding the weight of the time delay term, external forces, and nonlinear contributions. Moreover, we establish the quasi-stability of the system and show the presence of a gradient on bounded variable sets. Furthermore, we identify the existence of a global attractor with a finite fractal dimension, and provide a proof concerning the exponential attractor of the system. --------------------------------------------------------------------------------- تتناول هذه الدراسة تحليل السلوك الديناميكي على المدى الطويل لنظام شريط حراري ميكانيكي يتميز بتأخير زمني ويخضع لقانون حراري كولمان-جورتين. يُدخل نواة التحويل لهذا القانون الحراري تأثيرات تشتيت ضعيفة جدًا. باستخدام نظرية نصف المجموعات، نقدم وجود حلول ضعيفة وقوية على المستوى العالمي، بالإضافة إلى تبعيتها المستمرة للشروط الابتدائية داخل فضاءات الدوال المناسبة. تعتمد هذه التحليلات على افتراضات محددة بشأن وزن مصطلح التأخير الزمني، والقوى الخارجية، والمساهمات غير الخطية. علاوة على ذلك، نثبت شبه الاستقرار للنظام ونظهر وجود ميل على مجموعات المتغيرات المحصورة. وعلاوة على ذلك، نحدد وجود جاذب عالمي ببعد كسري محدد، ونقدم دليلاً بشأن جاذب الإسراع للنظام --------------------------------------------------------------------------------- Résumé Cette étude examine le comportement dynamique à long terme d'un système de micro-poutre thermoélastique présentant un retard temporel et régi par la loi thermique de Coleman-Gurtin. Le noyau de convolution de cette loi thermique introduit des effets de dissipation très faibles. En utilisant la théorie des semi-groupes, nous démontrons l'existence de solutions globales faibles et fortes, ainsi que leur dépendance continue par rapport aux conditions initiales dans des espaces fonctionnels appropriés. Cette analyse repose sur des hypothèses spécifiques concernant le poids du terme de retard temporel, les forces externes et les contributions non linéaires. De plus, nous établissons la quasi-stabilité du système et montrons la présence d'un gradient sur des ensembles de variables bornées. En outre, nous identifions l'existence d'un attracteur global avec une dimension fractale finie, et fournissons une preuve concernant l'attracteur exponentiel du système.